Бесконечность Вселенной в математике и физике

Понятие бесконечности, употребляемое космологией, в том числе и релятивистской, является математическим. Его математический статус следует из того, что оно выступает как количественная категория и применяется для количественной оценки космологических объектов. Иногда высказывается мнение, что понятие бесконечности в космологии употребляется в смысле "физической" бесконечности. Свойствами "физической" бесконечности наделяются такие конечные объекты, которые в рамках нашего опыта ведут себя так, что их конечность физически себя не проявляет, и поэтому от нее можно абстрагироваться. Например, протяженность поля, создаваемого элементарным электрическим зарядом, считается бесконечной. Условия на бесконечности, определяемые для этого поля, характеризуются тем, что потенциал поля равен нулю.

Нет никакого сомнения, что в целом ряде случаев понятие бесконечности употребляется в вышеуказанном смысле. Но здесь возникают следующие два вопроса: во-первых, является ли понятие "физической" бесконечности особым понятием, отличным от математического, и, во-вторых, является ли изложенное понимание бесконечности единственно возможным в космологии? Рассмотрим сначала вопрос о соотношении "физической" и математической бесконечности.

В физику и космологию понятие бесконечности входит в качестве элемента математического аппарата и в той мере, в какой в этих науках применяются математические методы. Применение понятия бесконечности, например, в виде "условий на бесконечности" в теории поля представляет собой математическую оценку физических явлений. Уже в этом проявляется математический статус "физической" бесконечности.

Известные сомнения относительно справедливости и классификации "физической" бесконечности как понятия, имеющего математический характер, вызывает то, что с "физической" бесконечностью связывают представления о бесконечности в нестрогом смысле слова. Здесь смешиваются две существенно различные вещи — содержание понятия и характер его применения. На уровне математического аппарата понятие бесконечности получает строгое математическое определение. В то же время это понятие может применяться в своей идеализирующей функции, а именно: для количественной оценки явлений, которые, несмотря на свою конечность, практически не проявляют себя как конечные, а поэтому в определенном смысле могут рассматриваться как бесконечные.

Разумеется, в последнем случае имеется элемент нестрогости. Но он внутренне не присущ самому понятию, а характеризует лишь способ его применения. Кроме того, эта нестрогость является допустимой идеализацией, которая не противоречит явлениям реального мира, ибо последние ведут себя так, как если бы они действительно были бесконечными.

Применение понятия бесконечности как некоторой идеализации не является исключительной особенностью физики. Оно характерно и для других наук. Например, когда говорят о практической бесконечности, понятие бесконечности употребляется как некоторая идеализация. Более того, это значение коренится в истоках самой абстракции бесконечности как таковой. Представление о бесконечности сформировалось у человека не в силу того факта, что он когда-то сумел обозреть бесконечность, а как идеализация очень больших, но конечных величин и расстояний.

Помимо всего сказанного, утверждение о "нестрогом" значении понятия бесконечности в контексте "физическая бесконечность" нуждается еще и в таком уточнении. Оно справедливо лишь по отношению к той концепции бесконечности, которая применяется в классической математике. Последняя же не является абсолютной истиной и может быть пересмотрена. В математике возможен и финитизм в трактовке бесконечности, аналогичный тому, который возникает при применении классической бесконечности в физике.

Одним из основоположников финитистской трактовки бесконечности был Пуанкаре. Пуанкаре считал, что понятие бесконечности, употребляемое в математике, является модификацией понятия конечного. Всякая теорема, относящаяся к бесконечным числам или вообще к тому, что называется бесконечными совокупностями, отмечал Пуанкаре, не может быть ничем иным, как сокращенным способом формулирования предложений, относящихся к конечным числам. Свойство бесконечных чисел, есть только перевод какого-либо свойства конечных чисел.

В дальнейшем финитистская трактовка бесконечности развивалась Ван Данцигом. Он считал, что было бы неправильно утверждать, что все натуральные числа могут быть представлены последовательностями знаков. Например, число 101.010, с точки зрения наших физических возможностей, вообще не может быть фактически реализовано, и в этом отношении оно совершенно аналогично бесконечности.

Финитистская трактовка бесконечности была развита в ряде выступлений академика А. Н. Колмогорова. Не отрицая классической бесконечности, А. Н. Колмогоров высказал мнение о том, что в ряде разделов математики, в частности в вычислительной математике, оказывается уместной финитистская трактовка бесконечности.

Итак, "физическая" бесконечность есть не что иное, как математическое понятие, применяемое космологией для количественной оценки физических явлений. Но всегда-ли математическое понятие бесконечности употребляется в физике и космологии в качестве понятия, обозначающего конечные величины? Существует точка зрения, утверждающая обязательность такого употребления понятия бесконечности. Например, бесконечная модель с пространством отрицательной кривизны может рассматриваться только как описание конечных областей. Здесь положение совершенно аналогично тому, которое существует в физике микромира, где "условия на бесконечности" также определяются для конечных расстояний.

Основным аргументом в пользу трактовки понятия бесконечности в релятивистской космологии, как некоторой идеализации, служит аналогичное его применение в некоторых других отраслях, физики. Нельзя, однако, не заметить существенного различия между применением понятия бесконечности, например, в атомной физике и в космологии. В первом случае локальность и ограниченность бесконечности выступают в наглядной форме. В космологии мы не можем непосредственно проверить, является ли наша бесконечность локальной или глобальной.

Хотя интерпретация бесконечных моделей в космологии как чего-то локального, ограниченного и допустима, нельзя сбрасывать со счета возможность того, что бесконечность здесь может быть "истинной". Более того, в релятивистской теории однородной и изотропной Вселенной бесконечность так и понимается. Локальная трактовка бесконечности здесь привела бы к тому, что "права" бесконечных моделей были бы в значительной мере ущемлены по сравнению с "правами" конечных моделей. Как известно, конечные модели в релятивистской космологии рассматриваются как модели, которые могут быть описаниями всего пространства Вселенной.

В релятивистской космологии понятие бесконечности употребляется в двух формах — в форме метрической бесконечности и теоретико-множественной бесконечности. Первая характеризует пространство и время, а вторая — космические объекты (звезды, галактики и т. д.).

Метрическая бесконечность однородного пространства связана с определенными значениями его кривизны, а именно с нулевой и отрицательной. Однако если пространство неоднородно, то связь бесконечности со значениями кривизны утрачивается.

Когда мы переходим к рассмотрению числа объектов в пространстве, то мы используем уже другое понятие бесконечности — "теоретико-множественное". В связи с ним возникает проблема соотношения потенциальной и актуальной бесконечности. Ее можно было бы сформулировать так: когда мы говорим о бесконечности Вселенной, то в каком смысле понятие "бесконечность" употребляется — в смысле потенциальной или актуальной бесконечности?

Под потенциальной бесконечностью в математике понимается переменная, бесконечно возрастающая величина. В отличие от нее актуальная бесконечность — это бесконечное множество, заданное целиком, т. е. всеми своими элементами. Характерным ее свойством является то, что для нее утрачивает силу известная аксиома: "целое больше своей части". Применительно к ней справедливо противоположное утверждение — "целое равно своей части". Например: несмотря на то, что множество четных чисел составляют лишь часть натуральных чисел (среди них имеются и нечетные), эти два множества равномощны, так как между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Понятие потенциальной бесконечности получило всеобщее признание. Этого нельзя сказать о понятии актуальной бесконечности. Правомерность его оспаривалась многими крупными математиками прошлого, например Коши, Гауссом, Вейерштрассом, Пуанкаре и др. В XX веке оно подверглось критике со стороны школы математического интуиционизма Брауэра. С другой стороны, в защиту этого понятия выступил немецкий математик Кантор, положив его в основу своей теории множеств.

Каким образом может быть обоснована идея бесконечности Вселенной в релятивистской космологии? В ньютоновской космологии такой вопрос не вызывал трудностей ввиду того, что пространство Вселенной с самого начала предполагалось эвклидовым. Иная картина наблюдается в релятивистской космологии. Здесь эвклидовость пространства не является единственно возможной, но допустима и возможность замкнутого конечного мира. Причем обе эти возможности теоретически равноправны. Поэтому релятивистская космология обращается к опыту, который должен показать, какая из этих возможностей осуществляется в реальном мире.

Но попытка однозначного решения проблемы бесконечности на основе опыта также сталкивается с серьезными трудностями. Дело в том, что опыт всегда конечен. Релятивистская космология не только ничего не изменила в этом отношении, но еще более ограничила рамки нашего опыта.

Классическая космология давала нам уверенность в том, что наблюдаемая пространственная область может быть неограниченно увеличена за счет применения более сильных наблюдательных приборов. Релятивистская космология показала, что такой оптимизм не совсем оправдан. Наша метагалактика расширяется. Наиболее ранним стадиям эволюции соответствуют наиболее удаленные галактики, и, наоборот, поздним стадиям — близкие галактики. Горизонт, определяющий границы космологического опыта, характерен как для конечных, так и для бесконечных моделей. В этом смысле различие между ними исчезает.

Ввиду того что опыт кончен, для решения проблемы бесконечности привлекаются не только эмпирические данные, но и теоретические соображения. Так, в релятивистской космологии, принимающей постулат однородности и изотропности пространства, выбор между конечными и бесконечными моделями осуществляется на основе эмпирического определения значения величин, связанных с кривизной теоретической зависимостью. Эмпирические данные считаются доказательством пространственной бесконечности Вселенной, если из них вытекает, что пространство характеризуется нулевой или отрицательной кривизной. Однако сама по себе кривизна пространства какой-либо локальной области не задает метрики пространства в целом. Для того чтобы значения кривизны К = 0, —2 определяли бесконечность Вселенной, необходимо допустить однородность реального пространства,

Однако сделанное допущение, во-первых, никак не вытекает из эмпирических данных и самой теории, а имеет постулативный характер. Во-вторых, только в силу этого постулата значение кривизны К = 0, —2 становится эквивалентом бесконечности пространства. Поэтому можно считать, что постулирование однородности пространства при данном значении кривизны есть постулирование и его бесконечности.

Сделанный вывод не будет неожиданным, если мы примем следующий критерий определения бесконечности. В математической логике определением бесконечности считается любая формула, которая истинна для бесконечного множества и невыполнима ни для какого конечного множества. По аналогии с изложенной трактовкой мы можем считать определением бесконечности пространства любые высказывания о его свойствах, которые задают пространственную бесконечность. При этом вовсе не обязательно, чтобы они в явном виде указывали на размеры пространства. С этой точки зрения высказывание об однородном пространстве со значением кривизны К = 0, —1 есть одно из таких определений. Постулирование выполнимости этого определения означает постулирование бесконечности пространства.

Положение могло быть существенно иным, если бы космологический постулат, требующий однородности пространства, сам мог бы быть доказан. Тогда в сочетании с эмпирически найденной нулевой или отрицательной кривизной он давал бы однозначное решение проблемы бесконечности, причем тезис о бесконечности фигурировал бы в качестве следствия. Однако однородность пространства в целом нельзя вывести из свойств, определенных для локальной области.

В этой связи уместно упомянуть известную в римановой геометрии теорему Шура. Теорема Шура утверждает, что если в каждой точке риманова пространства (при числе измерений больше двух) риманова кривизна имеет одинаковое значение во всех направлениях, то она сохраняет постоянное значение и при переходе от точки к точке, а следовательно, пространство является однородным. Однородность пространства выступает, таким образом, как следствие его изотропии. Но это не означает, что однородность пространства в целом выводится из свойств, определенных только для локальной области пространства. Дело в том, что вывод теоремы Шура о постоянстве кривизны в различных точках пространства имеет силу только для тех точек, в отношении которых, известно, что кривизна в них одинакова во всех направлениях.

При помощи теоремы Шура можно показать, что пространство в целом имеет, допустим, отрицательную кривизну, а поэтому и бесконечно. Но для этого понадобилось бы задать все бесконечное пространство и определить условия постоянства отрицательной кривизны для всех его точек. Бесконечность пространства, здесь оказывается с самого начала постулированной.

Таким образом, однородность пространства нельзя вывести из каких-либо локальных свойств при помощи общих теоретических соображений. Она может быть только постулирована. Собственно говоря, этот момент подчеркнут в космологии даже терминологически. Требование однородности пространства называется космологическим постулатом. Постулативный характер требования однородности означает и постулативное введение бесконечности, определяемой через значение кривизны.

Попытка эмпирически обосновать идею бесконечности приводит, таким образом, к любопытному результату. Эмпирические данные сами по себе не обосновывают этой идеи. Но если они это делают при помощи допущений, то оказывается, что на уровне допущений постулируется та самая бесконечность, которая еще должна получить обоснование.

О чем свидетельствует круг в обосновании идеи бесконечности? Он указывает на то, что утверждение о бесконечности имеет постулативный или аксиоматический характер.

Аксиоматический характер идеи бесконечности не означает, что эта идея является априорной и совершенно не зависит от опыта. Если опытные данные свидетельствуют о том, что кривизна метагалактического пространства в области, охваченной наблюдениями, отрицательна или равна нулю, то можно утверждать, что оно бесконечно. И хотя это утверждение не противоречит опытным данным, оно не вытекает из них, а вводится постулативно. Опыт может сделать этот постулат весьма правдоподобным. Однако, ввиду своей ограниченности, и конечности, он никогда не может служить полным обоснованием идеи бесконечности.